摘  要  基于TVD格式的有限差分算法思想，考虑节点与单元的对应关系，对任意四边形单元各边的通量采用优选限量函数的组合型TVD格式进行插值，在时间上采用两步Runge-Kutta法离散，建立了守恒型浅水方程有限体积的高分辨率计算模型。首次针对180°强弯曲河道、90°双支以及45°三支分叉渠道，数值预报了溃坝波的演进过程，揭示了溃坝波在弯曲河道中内外两岸速度与水位变化，在分叉河道中自动进行流量与动量再分配，在叉点角区形成旋涡、壅高等复杂运动特征，同时反映了湿底与干底的影响。

关键词  浅水方程，有限体积，TVD格式，弯曲渠道，分叉渠道，溃坝波

1．前言

    许多水利和环境工程问题，都需要进行浅水流动分析，数值计算逐渐成为分析的重要手段。虽然二维浅水流动一般问题的计算比较成熟，但对于有间断、带自由面、含复杂边界等复杂浅水问题的研究，由于对数值计算方法要求较高仍处于发展之中。对溃坝问题的研究，一直是引人关注的重要课题，具有重要的学术价值和工程应用背景。

过去对溃坝问题的研究，以差分方法为主，所用的格式有特征线法、显式和隐式差分法以及最近占据重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式^[1]在该类问题研究中也逐渐发挥其独特的作用, 如用来计算一维溃坝波的传播、反射^[2~5]和二维溃坝波的传播、反射与绕射^[6~9]。对于复杂边界，通常采用坐标变换，将不规则计算域转换到规则计算域，但同时方程也复杂化。近年来，在有限体积离散基础上的近似黎曼解法，用于计算浅水流动（包括溃坝波）问题，取得了良好效果^[10~13]。但另一类高分辨率格式—TVD格式用在有限体积方法中尚不多见。

传统TVD格式形式多样，数值性能也有一定差异，有的耗散性偏大，有的压制性过强，主要在于所选用的限量函数的不同。作者在溃坝波计算的比较研究中，发现有的限量函数在计算干底情况下的溃坝波时会出现坝址处的非物理扭曲现象，通过深入研究，得到了优选的限量函数，并建立了求解浅水方程带最优限量函数的组合型TVD格式^[9]。与实验结果进行比较，进一步表明采用浅水方程和组合型TVD格式能有效地描述溃坝波的运动特征^[6]。在文献[8]中提出了卫星单元概念和主单元及其卫星单元间的拓扑关系，把节点和单元对应起来，建立了浅水方程在任意四边形单元上的有限体积TVD格式，可以直接在任意控制单元上进行求解。本文拟进一步用于解决具有复杂边界，例如弯曲与分叉渠道溃坝波传播的计算问题。关于弯曲河道，国外有一些实验结果^[14]，而分叉河道中溃坝波的预报，国内外至今未见报道。本文算法的成功实现，可以较好地解决天然河道溃坝波的计算问题，这将有助于对实际河道溃坝波运动特征的进一步认识和为防灾减灾决策提供可靠依据。

2        控制方程

描述溃坝流动的控制方程一般是通过作静水压力、小底坡和长波假定，对Navier-Stokes方程进行深度平均而得到的浅水方程，将其写成守恒形式为

                              (1a)

其中

     (1b)                        

这里h是水位， 分别是x、y方向的单宽流量、底坡和摩阻坡降。

摩阻坡降 、 可由曼宁公式确定

                          (2)

式中n为曼宁粗糙系数。

3        有限体积TVD格式

    文献[8]提出了卫星单元概念并定义了单元的几何拓扑关系，在此基础上，构造了任意四边形单元的有限体积高分辨率格式。但采用的是一参数限量函数，本文采用优选的限量函数^[9]，以避免在干河时出现非物理扭曲。

    针对单元i(内部区域 ，边界 )，对(1a)式进行积分，得到积分形式的方程

                                  (3)

式中A为区域 的面积，dl为边界 的弧长，n为边界 的外法向单位向量。边界 由四条线段组成，上式左端第2项可以写成

                                           (4)

其中 为边长， 为第k边外法向通量。

    设向量U在单元内部保持不变，进一步离散(3)式，得到有限体积基本方程

                                        (5)

其中 满足

                                       (6)

    利用F(U)和G(U)的旋转不变性，引入旋转变换矩阵 及其逆矩阵 可改写（5）式为

                                (7)

其中

            ( 8)

    记(7)式右端为 ，则有

                                   (9)

采用两步Runge-Kutta法离散上式，时间精度也可以达到二阶，得到

                        (10)

    在每一单元的每一边，其通量按组合型TVD格式给出(例如对于单元i的第1边)

                                     (11)

式中 为单元i和卫星单元1的第l个右特征向量的算术平均。采用组合型TVD格式进行插值，

                         (12)

其中 代表单元i和卫星单元1的第l个特征速度的算术平均， 为二单元特征变量差分的算术平均， 为限量函数，采用文献[8]优选得到的MUSCL型限量函数，

             (13)

其中0.138正是计算溃坝波时，介于缓流（亚临界流）与急流（超临界流）之间的临界水深比。当初始下游与上游的水深比较大（湿底）时，宜采用单参数限量函数 ，否则，在干底时宜采用双参数限量函数 以避免在坝址附近的非物理扭曲现象。

                (14)

                  (15)         

其中

         (16)

              (17)

     时空步长比为

                                                        (18)

其中 表示单元i和卫星单元1形心之间的距离。

4        边界条件

为了使边界与内点保持同样精度和采用统一的格式，本文增设域外虚拟单元。

(1)    开边界，需视流态确定^[6]；

(2)    固壁边界,

   与边界重合的边：

     .

域外虚拟单元：

      （形心）；

   （各边）

表示其法向通量和切线通量为零。其中下标“－1”、“－2”表示域外单元，“b”表示邻近边界的内部单元(如图1所示)。不计域外单元的几何尺寸和形状，因为计算中不需要对其量化。

5        数值预报

5.1   180°弯道   

    设有一180°弯曲渠道，入口与出口直段长2400m，弯曲段内外半径分别是300m和900m，渠道宽600m。坝址位于2240 m处的直段。设上下游水深分别是10m和0.1m，曼宁粗糙系数为0.02。一般认为，平均径宽比小于3，则视为强弯曲，本例平均径宽比为1.0，显然属于强弯曲类型。

    采用上述计算方法，获得了该弯曲渠道全溃溃坝波的数值模拟结果。计算历时100s、300s、470s后所得到的自由水面和速度场分别示于图2、图3和图4。可以看出，刚开始时，溃坝波在平直段均匀推进，进入弯道后，溃坝波的运动受到两岸固壁的限制，流速方向和水位分布发生变化。外侧水位略高于内侧水位，且最前端的流体（主波）速度总是有偏离弯道方向推进的趋势，这应是离心力作用以及渠道宽度较大的缘故。但再进入平直段后，这种变化逐渐减小，当经历更长一段时间后，这种差别逐渐消失，两岸流体以几乎相同的波高和速度推进，甚至外侧流体推进速度略快。这些特征与已有的实验结果^[14]是一致的。

图2  弯道内溃坝流动的自由水面与速度场（t=100s）

图3  弯道内溃坝流动的自由水面与速度场（t=300s）

图4  弯道内溃坝流动的自由水面与速度场（t=470s）

5.2  90°双支分叉渠道

图5  双支分叉渠道溃坝波水面线 (左图为湿底，右图为干底)

5.3  45°三支分叉渠道

一45°三支分叉渠道，两条对称分布的分支渠道与主河道成45°角，主河道长2300m,宽400m，分支河道宽300m。坝址位于900m处。同样取上游水深是10m、下游水深是2m和0.01m，曼宁粗糙系数0.02。计算溃决40s和80s时，水深比为0.2情况下水位等值线如图6所示；水深比为0.001情况下水位等值线如图7。可以看出，溃坝波运动特征与上例类似，上游波形和波的推进速度在不同水深比时具有相似的特征，在角区存在旋涡。但交汇处和下游波形及推进速度却有较大差别，下游小水深情况下与大水深相比，波形更平缓，而且在到达交汇处之前推进速度略快。

图6  三支分叉湿底渠道溃坝波的水位等值线 （左图t=40s，右图t=80s）

图7  三支分叉干底渠道溃坝波的水位等值线 （左图t=40s，右图t=80s）

6 结语

在作者近期研究的基础上，基于四边形单元及其卫星单元所定义的拓扑关系，利用带有最优限量函数的组合型TVD格式和Runge-Kutta法分别作空间离散和时间离散，建立了浅水方程的任意四边形单元的有限体积TVD格式，为任意渠道溃坝波的计算提供了高分辨率、高精度的数值手段。首次针对180°强弯曲河道、90°以及45°分叉河道，预报了溃坝波的演进过程，揭示了在复杂河道特别是具有弯道、分叉等天然特征时溃坝波的急剧变化特性。虽然本文是针对溃坝波—非恒定自由表面间断流问题所作的研究，但可以预见，本文的方法可以方便地推广应用于其它具有潮波、水跃现象甚至更一般的恒定

参  考  文  献

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Numerical simulation of dam-break flows in bend and furcated channels

    Abstract  A high-resolution finite-volume method for solving the conservative shallow water equations is presented in this paper. The method is based upon extending the finite-difference TVD scheme to finite-volume method considering the corresponding relationships between elements and nodes. A second-order hybrid TVD scheme with an optimum-selected limiter and a two-step Runge-Kutta method are utilized to discretize the integral type of the shallow water equations over arbitrary quadrilateral cells. The dam-break flows are simulated for the first time considering the cases in channels with a 180°strong bend, a 90°bifurcation and a 45°three branches. The complex characteristics of velocity and water elevation changes at both banks of the curved sections, auto-reassignment of discharges and momentum as well as vortices and super-elevation near the corner of embranchment regions in the furcated channels are displayed. The effects of wetting bed and drying bed are discussed simultaneously.

 Key words  shallow water equations, finite-volume method, bend channel, furcated channel, dam-break Bores